Calculando distancias en una tierra que no es redonda

26 de Abril de 2019


Calculando distancias en una tierra que no es redonda

Un ejemplo de la utilidad de la matemática para el estudio de nuestro planeta Tierra fue dado hace miles de años por el matemático y astrónomo griego Eratóstenes (276 AC-194 AC), quien tuvo la brillante idea de usar las sombras de los rayos del sol para calcular la longitud de la circunferencia terrestre.  A pesar de las limitaciones de la época, su cálculo fue notablemente cercano al real. 

Eratóstenes observó que en la ciudad de Siena (hoy Asuán, Egipto), el día 21 de junio al mediodía los rayos del sol no proyectaban ninguna sombra sobre los objetos verticales. Sin embargo, sí lo hacían en la ciudad de Alejandría.  Con estos datos sencillos, Eratóstenes tuvo la siguiente simple y eficaz idea: en el preciso instante en que los rayos del sol eran perpendiculares al suelo en Siena, él midió la sombra producida por un poste ubicado en Alejandría.  La medida del ángulo que producen los rayos del sol y dicho poste, nos permite conocer la medida del ángulo que une las dos ciudades elegidas, visto desde el centro de la Tierra.  Ver gráfico*

Observando la sombra del poste ubicado en Alejandría, Eratóstenes pudo medir el ángulo A. El ángulo B tiene vértice en el centro de la Tierra, y sus lados están determinados por el rayo del sol que cae sobre Siena y por el poste ubicado en Alejandría. 

Ahora bien, los ángulos A y B son iguales por ser ángulos alternos internos que se forman cuando una recta corta a dos rectas paralelas.  En este caso, las rectas paralelas son los dos rayos del sol considerados y la recta que las corta es la que pasa por  el centro de la Tierra y contiene al poste.

Eratóstenes observó que este ángulo era la cincuentava parte de la circunferencia, es decir, que si dividimos una circunferencia en 50 partes iguales, el ángulo de cada una de esas partes es igual al ángulo B. Si conocemos la distancia entre Siena y Alejandría, podremos calcular la longitud de la circunferencia que rodea toda la Tierra simplemente usando proporcionalidad.   El número buscado es 50 veces la distancia entre  dichas  ciudades.

Actualmente podemos usar trigonometría para calcular la medida de este ángulo pues si dividimos la longitud de la sombra por la altura del poste podemos obtener la tangente del ángulo A.  Con una calculadora podemos deducir que el ángulo entre Siena y Alejandría mide 7º 12'.  Este ángulo multiplicado por 50 nos da 360º, la medida del ángulo total del círculo.

No sabemos con precisión cual fue la unidad de medida que Eratóstenes usó para calcular la distancia entre Siena y Alejandría. Teniendo en cuenta los usos y costumbres de la época, podemos intuir que pudo haberla estimado considerando el tiempo que tardaban las caravanas que comerciaban entre ambas ciudades.  Por ejemplo,  pudo haber contado la cantidad de días que los camellos necesitaban para ir de una ciudad a otra, sabiendo que un camello recorría cien estadios en un día, o bien observando a un regimiento de soldados que diera pasos de tamaño uniforme. De una u otra manera, Eratóstenes pudo concluir que la distancia entre las ciudades era de 5000 estadios y, por lo tanto, la longitud de la circunferencia de la Tierra sería de 250000 estadios.

El estadio era una unidad de medida utilizada en la antigüedad, cuya medida variaba según el lugar. Por ejemplo, el estadio griego tomaba como patrón la longitud del estadio de Olimpia. Eratóstenes puede haber usado el estadio ático-italiano, equivalente a 184.8 metros, o el estadio egipcio, equivalente a 300 codos de 52.5 cm, o sea, 157.5 metros. Así, el número obtenido al decir que la longitud de la circunferencia de la Tierra es de 250 mil estadios, sería 46200 ó 39375 kilómetros, dependiendo de qué medida de estadio estemos considerando. Hoy sabemos que la longitud exacta de un meridiano terrestre es de 40008 kilómetros y, por lo tanto, podemos asegurar que la estimación de Eratóstenes fue bien cercana a la longitud real.

Para que el cálculo sea exacto, las ciudades elegidas tendrían que situarse en el mismo meridiano, es decir, en una misma línea en dirección Norte-Sur.  Hoy sabemos que la longitud de las ciudades de Siena y Alejandría tiene una diferencia de 3º.

Otro detalle a tener en cuenta para que el cálculo sea exacto es que la distancia del Sol a la Tierra debe ser tal que los rayos que llegan a Siena y Alejandría puedan suponerse paralelos. Más importante aún, hoy sabemos que la longitud de la circunferencia terrestre medida a lo largo de un meridiano no coincide con la longitud medida a lo largo del Ecuador.  Esto se debe a que la Tierra no es perfectamente redonda. La rotación de la Tierra en el espacio provoca una fuerza centrífuga  que deforma a nuestro planeta, haciendo que este sea más ancho en el Ecuador que en los polos. La medida del Ecuador es de 40077 kilómetros, mientras que, como ya dijimos, la medida del meridiano de Greenwich es de 40008 kilómetros. La Tierra es un elipsoide de revolución obtenido por rotación de una elipse alrededor de su eje más corto.  En conclusión, el meridiano que midió Eratóstenes no es exactamente una circunferencia sino una elipse. 

Comparando el resultado obtenido por Eratóstenes con la medida exacta que conocemos hoy, podemos afirmar que estos detalles no afectaron mucho el cálculo realizado utilizando simplemente las sombras que producen los rayos del sol y que, por cierto, fue la medida más precisa conocida durante varios siglos.            

 

Artículo de colaboración de la Dra. María Julia Redondo, Investigadora Independiente del CONICET y Profesora Titular del Departamento de Matemática de la Universidad Nacional del Sur. Actualmente es directora del Instituto de Matemática INMABB-UNS/CONICET. Su investigación se centra en el álgebra homológica y la teoría de representaciones de álgebras.